Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, trọng tâm G. Tích vô hướng của hai vectơ BC. vectơ CG là A. a^2/ vectơ 2; B. - a^2/ vectơ 2; C. a^2/2; D. - a^2/2
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AB = BC = AC = a và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \)
Vì tam giác ABC đều có G là trọng tâm nên G là giao điểm của ba đường phân giác
Suy ra CG là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)
Do đó \(\widehat {BCG} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ \)
Gọi CB’ là tia đối của tia BC
Góc tạo bởi \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CG} \) là \(\widehat {B'CG}\)
Ta có \(\widehat {B'CG} + \widehat {BCG} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat {B'CG} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)
Gọi H là giao điểm của CG và AB
Khi đó CH ⊥ AB và H là trung điểm của AB
Hay tam giác ACH vuông tại H
Suy ra \(CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Do đó \(CG = \frac{2}{3}CH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có
\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CG} = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CG} } \right|.co{\rm{s}}\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CG} } \right)\)
\( = BC.CG.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CG} } \right) = BC.CG.co{\rm{s150}}^\circ \)
\( = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{ - \sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - {a^2}}}{2}\).
Vậy ta chọn đáp án D.