Cho tam giác ABC đều cạnh A và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Tính độ dài

Đề bài: Cho   đều cạnh A và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Tính độ dài các vecto  .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có:  $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=a$.

Gọi M là trung điểm của BC $\Rightarrow BM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$ .

Tam giác ABM vuông tại M nên $AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Ta có: $\left|\overrightarrow{AG}\right|=AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Mà I là trung điểm của AG nên $MI=AG=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

$\left|\overrightarrow{BI}\right|=BI=\sqrt{B{M}^2+M{I}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$.