Cho \(\Delta ABC\) đều cạnh A và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Tính độ dài các vecto \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AG} ,\,\,\overrightarrow {BI} \).
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a\).
Gọi M là trung điểm của BC \( \Rightarrow BM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\).
Tam giác ABM vuông tại M nên \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Mà I là trung điểm của AG nên \(MI = AG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
\(\left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).