Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính độ dài của các vecto:

\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BH} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\).

Lời giải

• Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BH} } \right| = \left| {\overrightarrow {AH} } \right| = AH\)

Xét tam giác ABH có \(AH = AB.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BH} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

• Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a\).

• Vì tam giác ABC đều có AH là đường cao nên AH là đường trung tuyến

Suy ra H là trung điểm của BC

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AH} } \right| = 2AH = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).