Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, d là đường thẳng qua A và song song BC. Khi M di động trên d thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là?

Xét điểm I sao cho

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \frac{{\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} }}{2} = \overrightarrow {BK} \end{array}\)

(K là trung điểm AC)

Ta có: I là điểm thứ 4 của hình bình hành AIBK

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) - \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = \left| {2\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right)} \right| = 2MI\end{array}\)

M thuộc d, nên giá trị nhỏ nhất đạt được khi IM vuông góc với d.

Khi đó \(\widehat {MAI} = \widehat {MAB} - \widehat {IAB} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \)

\( \Rightarrow 2IM = 2.IA.\sin 30^\circ = 2BK.\sin 30^\circ = a\sqrt 3 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là \(a\sqrt 3 \).