Cho tam giác ABC, D và I là các điểm được xác định bởi 3. vecto DB - 2 vecto DC= vecto 0; vecto IA + 3.vecto IB-2.vecto IC = vecto 0

Đề bài. Cho tam giác ABC, D và I là các điểm được xác định bởi

$3\overrightarrow{DB}-2\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}\mathrm{ }-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.

a) Biểu diễn AD theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$

b) Chứng minh A, I, D thẳng hàng

Trả lời

a) Theo quy tắc 3 điểm, từ $3\overrightarrow{DB}\mathrm{ }-2\overrightarrow{DC}\mathrm{ }=\overrightarrow{0}$ ta có:

$3\overrightarrow{DA}\mathrm{ }+3\overrightarrow{AB}\mathrm{ }-2\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{AC}\mathrm{ }=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{DA}\mathrm{ }=2\overrightarrow{AC}\mathrm{ }-3\overrightarrow{AB}$

⇔ $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$ (*)

b) Theo a có $\overrightarrow{AD}\mathrm{ }=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$

⇔ $\overrightarrow{AD}=2.(\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\mathrm{ }-\overrightarrow{AC})$

Mà $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}\mathrm{ }=\overrightarrow{0}$

⇔ $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{AB}\mathrm{ }-2\overrightarrow{AC}\mathrm{ }=\overrightarrow{0}$

⇔ $2\overrightarrow{IAI}\mathrm{ }=3\overrightarrow{AB}\mathrm{ }-2\overrightarrow{AC}$ (**)

Từ (*) và(**) suy ra: $\overrightarrow{AD}\mathrm{ }=2\overrightarrow{AI}$

Vậy A, I, D thẳng hàng.