Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB. Trên tia đối của DB lấy điểm N sao cho DN = DB. Trên tia đối của tia EC lấy điểm M sao cho EM = EC.
a) Chứng minh DCDN = DADB.
b) Chứng minh AM // BC.
c) Chứng minh rằng A là trung điểm của MN.
a) Xét DCDN và DADB có:
DC = DA (D là trung điểm AC)
DN = DB (gt)
\[\widehat {CDN} = \widehat {ADB}\](2 góc đối đỉnh)
Do đó DCDN = DADB (c.g.c)
b) Xét DAME và DBCE có:
ME = EC (gt)
EA = EB (E là trung điểm AB)
\[\widehat {AEM} = \widehat {BEC}\](2 góc đối đỉnh)
Do đó DAME = DBCE (c.g.c)
Suy ra \[\widehat {AME} = \widehat {BCE}\] (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong của AM và BC.
Do đó AM // BC.
c) Xét DADN và DCDB có:
DN = DB (gt)
AD = DC (D là trung điểm AC)
\[\widehat {ADN} = \widehat {CDB}\](2 góc đối đỉnh)
Do đó DADN = DCDB (c.g.c)
Suy ra \[\widehat {DNA} = \widehat {DBC}\] (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong của AN và BC.
Do đó AN // BC.
Lại có AM // BC (cmt) nên A, M, N thẳng hàng.
• Vì DAME = DBCE (cmt) nên AM = BC (hai cạnh tương ứng)
• Vì DADN = DCDB (cmt) nên AN = BC (hai cạnh tương ứng)
Do đó AM = AN hay A là trung điểm của MN.
Vậy A là trung điểm của MN.