Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I la trung điểm AM

Đề bài: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I la trung điểm AM va K là điểm thuộc AC sao cho $AK=\frac{1}{3}AC$. Chứng minh B, I, K thẳng hàng.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}\\ \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MI}\end{array}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{MI}\right)=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM} \\ =\overrightarrow{BA}+\frac{\overrightarrow{BC}}{2}\Rightarrow 4\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} \end{gathered}$$

Lại có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BA}+\frac{\overrightarrow{AC}}{3} \\ \Rightarrow 3\overrightarrow{BK}=3\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BA}+\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} \end{gathered}$$

Do đó: $4\overrightarrow{BI}=3\overrightarrow{BK}$

Vậy B, I, K thẳng hàng.