Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC

Đề bài: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC có diện tích bằng nhau.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Vẽ AH và GK vuông góc với BC

Gọi M là chân đường trung tuyến từ A hạ xuống BC. Ta có GM = AM( tính chất đường trung tuyến của tam giác).

Xét tam giác GKM và tam giác AHM:

$\widehat{AHM}=\widehat{GKM}=90°$

$\widehat{AMH}=\widehat{GMK}$

⇒ Tam giác GKM và tam giác AHM đồng dạng (g.g)

$\Rightarrow \frac{GM}{AM}=\frac{GK}{AH}=\frac{1}{3}$

Có $\frac{S_{GBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.GK.BC}{\frac{1}{2}.AH.BC}=\frac{GK}{AH}=\frac{1}{3}$ .

Chứng minh tương tự ta được:

S­_GBC = S_GAB = S_GAC =  S_ABC (ĐPCM).