Cho tam giác ABC có hb + hc = 2ha. Chứng minh rằng

Đề bài: Cho tam giác ABC có h_b + h_c = 2h_a. Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2}{\sin A}.$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: h_b + h_c = 2h_a

$$\begin{gathered} \iff \frac{2S_{ABC}}{b}+\frac{2S_{ABC}}{c}=\frac{4S_{ABC}}{a} \\ \iff \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{a} \end{gathered}$$

Áp dụng định lý Sin trong tam giác ABC:

$\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2R}{b}+\frac{2R}{c}=2R\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$; (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

$\Rightarrow \frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=2R.\frac{2}{a}=\frac{4R}{a}=\frac{2}{\sin A}$.

Vậy $\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2}{\sin A}$ .a