Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A; D; H; E cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O).

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến đường tròn (O).

Lời giải

a) Gọi O là trung điểm của AH

Xét tam giác AEH vuông tại H có EO là trung tuyến

Suy ra AO = OH = OE

Xét tam giác ADH vuông tại H có DO là trung tuyến

Suy ra AO = OH = OD

Do đó OA = OH = OD = OE

Vậy bốn điểm A; D; H; E cùng nằm trên một đường tròn tâm O

b) Xét tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

Suy ra H là trực tâm

Do đó AH ⊥ BC

Mà CE ⊥ AB

Suy ra \(\widehat {E{\rm{A}}H} = \widehat {ECB}\)                           (1)

Ta có OA = OE nên tam giác OAE cân tại O

Suy ra \(\widehat {E{\rm{AO}}} = \widehat {OEA}\)                           (2)

Xét tam giác EBC vuông tại E có EM là trung tuyến

Suy ra EM = MC nên tam giác MCE cân tại M

Suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {MCE}\)                            (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\widehat {MEC} = \widehat {A{\rm{E}}O}\)

Mà \(\widehat {OEC} + \widehat {A{\rm{E}}O} = \widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {OEC} + \widehat {MEC} = \widehat {OEM} = 90^\circ \), hay OE ⊥ EM

Xét (O) có OE ⊥ EM, OE là bán kính

Suy ra ME là tiếp tuyến đường tròn (O)

Vậy ME là tiếp tuyến đường tròn (O).