Cho tam giác ABC có góc BAC = 60^0, phân giác AD. Chứng minh hệ thức căn bậc hai của 3/AD = 1/AB + 1/AC

Trả lời

Lời giải

Ta có S_ABC = S_ABD + S_ACD

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}AB.A{\rm{D}}.\sin \widehat {BAD} + \frac{1}{2}AC.A{\rm{D}}.\sin \widehat {CAD}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.AC.\sin 60^\circ = \frac{1}{2}AB.A{\rm{D}}.\sin 30^\circ + \frac{1}{2}AC.A{\rm{D}}.\sin 30^\circ \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{4}AB.AC = \frac{1}{4}AB.A{\rm{D}} + \frac{1}{4}AC.A{\rm{D}}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 AB.AC = AB.A{\rm{D}} + AC.A{\rm{D}}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{{AB.A{\rm{D}}}}{{AB.AC}} + \frac{{AC.A{\rm{D}}}}{{AB.AC}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{{A{\rm{D}}}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}}\)

Vậy \(\frac{{\sqrt 3 }}{{A{\rm{D}}}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}}\).