Cho tam giác ABC có góc B bằng 120°, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B

Đề bài. Cho tam giác ABC có góc B bằng 120°, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.

a) Tính độ dài đường phân giác BD

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM ⊥ BD

Trả lời

a) Ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}={60}^{\circ }$

Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E

Lại có: $\widehat{BAE}=\widehat{ABD}={60}^{\circ }$(so le trong)

$\widehat{CBD}=\widehat{ABE}={60}^{\circ }$(đồng vị)

Suy ra: tam giác ABE đều ⇒ AB = BE = EA = 6 (cm) (1)

Khi đó: CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 (cm)

Tam giác ACE có AE // BD nên suy ra:

$\frac{BC}{CE}=\frac{BD}{AE}\Rightarrow BD=\frac{BC.AE}{CE}=\frac{12.6}{18}=4(cm)$

b) MB = MC = $\frac{1}{2}BC=6(cm)$ vì M là trung điểm BC

Mà AB = 6cm nên AB = BM

⇒ Δ∆ABM cân tại B

Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân).

Vậy BD ⊥ AM.