Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Gọi M là trung điểm của cạnh AC, trên tia BM lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn BN. Chứng minh
a) CN vuông góc với AC và CN = AB.
b) AN = BC và AN song song với BC.
Lời giải
a) Xét tam giác AMB và tam giác CMN có
AM = MC (M là trung điểm của AC)
\(\widehat {AMB} = \widehat {CMN}\) (hai góc đối đỉnh)
MB = MN (M là trung điểm của BN)
Suy ra △AMB = △CMN (c.g.c)
Do đó AB = CN (2 cạnh tương ứng)
và \(\widehat {BAM} = \widehat {NCM}\) (2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat {BAM} = 90^\circ \) (giả thiết)
Suy ra \(\widehat {NCM} = 90^\circ \)
Hay CN ⊥ AC
b) Xét tam giác ANM và tam giác CBM có
AM = MC (M là trung điểm của AC)
\(\widehat {AMN} = \widehat {CMB}\) (hai góc đối đỉnh)
MB = MN (M là trung điểm của BN)
Suy ra △ANM = △CBM (c.g.c)
Do đó AN = BC (2 cạnh tương ứng)
Và \(\widehat {ANM} = \widehat {CBM}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc ở vị trí so le trong của 2 đường thẳng AN và BC
Suy ra AN // BC
Vậy AN = BC và AN // BC.