Cho tam giác ABC có các đường phân giác cắt nhau tại N cho ha, hb, hc là đường cao

Đề bài: Cho tam giác ABC có các đường phân giác cắt nhau tại N cho h_a, h_b, h_c là đường cao gọi r là khoảng cách từ N đến cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r}$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}{h}_a.a=\frac{1}{2}{h}_b.b=\frac{1}{2}{h}_c.c$ .

Do đó $\frac{a}{2S_{ABC}}+\frac{b}{2S_{ABC}}+\frac{c}{2S_{ABC}}=\frac{a+b+c}{2}.\frac{1}{S_{ABC}}=p.\frac{1}{p.r}=\frac{1}{r}$