Cho tam giác ABC có các đường cao bằng 12 cm, 15 cm, 20 cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c. Chiều cao tương ứng với 3 cạnh trên lần lượt là h_a = 12, h_b = 15, h_c = 20

Diện tích tam giác ABC là

\[S = \frac{{a{h_a}}}{2} = \frac{{b{h_b}}}{2} = \frac{{c{h_c}}}{2}\]

⇔ ah_a = bh_b = ch_c

⇔ 12a = 15b = 20c = k

Suy ra \(a = \frac{k}{{12}},b = \frac{k}{{15}},c = \frac{k}{{20}}\)

Ta có: \({a^2} = \frac{{{k^2}}}{{144}}\) và \({b^2} + {c^2} = \frac{{{k^2}}}{{225}} + \frac{{{k^2}}}{{400}} = \frac{{{k^2}}}{{144}}\)

Do đó a² = b² + c²

Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông.