Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Đường trung tuyến AM = AB = c

Đề bài. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Đường trung tuyến AM = AB = c. Chứng minh rằng a² = 2(b² – c²)

Trả lời

Ta có công thức tính đường trung tuyến AM:

$AM=\sqrt{\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}}=\sqrt{\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}}$

Mà AM = c nên: c² = $\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}$

⇔ $\frac{2(c^2+b^2)-a^2}{4}=c^2$

⇔ 2(c² + b²) – a² = 4c²

⇔ 2b² – 2c² = a²

⇔ a² = 2(b² – c²)

Vậy a² = 2(b² – c²)