Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình

Bài 103 trang 98 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Chứng minh:

a) OC vuông góc với FH;

b) Tam giác OAI là tam giác cân;

c) Tam giác BAI là tam giác cân.

Trả lời

a) Xét $∆$OHC và $∆$OFC có:

$\widehat{OHC}=\widehat{OFC}(=90°)$,

OC là cạnh chung,

$\widehat{OCH}=\widehat{OCF}$ (do CO là tia phân giác của góc ACB)

Do đó ∆OHC = ∆OFC (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra CH = CF, OH = OF (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó C và O cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng FH.

Hay CO là đường trung trực của đoạn thẳng FH.

Do đó OC ⊥ FH.

Vậy OC ⊥ FH.

b) Xét ∆OHA và ∆OFI có:

$\widehat{OHA}=\widehat{OFI}\left(=90°\right)$,

OH = OF (chứng minh câu a),

AH = IF (giả thiết),

Do đó ∆OHA = ∆OFI (hai cạnh góc vuông)

Suy ra OA = OI (hai cạnh tương ứng)

Tam giác OAI có OA = OI nên ∆OAI cân tại O.

Vậy tam giác OAI là tam giác cân tại O.

c) • Kẻ OK ⊥ AB (K ∈ AB).

Xét $∆$AOH và $∆$AOK có

$\widehat{OHA}=\widehat{OK\text{A}}(=90°)$,

OA là cạnh chung,

$\widehat{HAO}=\widehat{KAO}$ (do AO là tia phân giác của góc BAC)

Do đó ∆AOH = ∆AOK (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AH = AK (hai cạnh tương ứng).

• Xét tam giác ABC có O là giao điểm của hai tia phân giác của góc ACB và BAC.

Suy ra BO là tia phân giác của góc ABC.

Xét $∆$BOK và $∆$BOF có

$\widehat{OKB}=\widehat{OFB}(=90°)$,

OB là cạnh chung,

$\widehat{KBO}=\widehat{FBO}$ (do BO là tia phân giác của góc ABC)

Do đó ∆BOK = ∆BOF (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BK = BF (hai cạnh tương ứng)

• Ta có AB = AK + KB, BI = BF + FI

Mà BK = BF, AK = IF (= AH)

Từ đó suy ra AB = BI nên tam giác BAI cân tại B.

Vậy tam giác BAI cân tại B.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7