Bài 105 trang 99 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh ∆ADB = ∆AEC.
b) Chứng minh tam giác HDE là tam giác cân.
c) So sánh HB và HD.
d) Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của HB, I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng.
a) Xét ABD và ACE có:
,
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),
là góc chung,
Suy ra ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).
Vậy ∆ADB = ∆AEC.
b) Vì ∆ADB = ∆AEC (chứng minh câu a)
Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng).
Ta có AB = AE + EB, AC = AD + DC.
Mà AB = AC, AE = AD.
Suy ra BE = CD.
Xét EHB và DHC có:
,
BE = CD (chứng minh trên),
(do )
Suy ra ∆EHB = ∆DHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Do đó HE = HD, BH = CH (các cặp cạnh tương ứng).
Tam giác HDE có HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.
Vậy tam giác HDE là tam giác cân tại H.
c) Trong tam giác vuông HDC có HC > HD (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
Mà HC = HB (chứng minh câu b)
Do đó HB > HD.
Vậy HB > HD.
d) • Gọi P là giao điểm của HI và BC.
Tam giác HBC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I.
Do đó I là trọng tâm của tam giác HBC nên HP là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh H của tam giác.
Từ đó ta có PB = PC.
Xét HBP và HCP có:
HB = HC (chứng minh ở câu b),
HP là cạnh chung,
PB = PC (chứng minh trên)
Do đó HBP = HCP (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Mà (hai góc kề bù)
Do đó
Từ đó ta có HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC (1)
• Tam giác ABC có H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó AH ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại P
Hay ba điểm A, H, I thẳng hàng.
Vậy ba điểm A, H, I thẳng hàng.
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng
Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác