Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng ∆ABD = ∆ACD và AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

b) Vẽ DM vuông góc với AB tại M. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = AM. Chứng minh ∆ADM = ∆ADN và DN vuông góc AC.

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng CN. Trên tia đối của tia KD lấy điểm E sao cho KE = KD. Chứng minh M, E, N thẳng hàng.

Lời giải

a) Xét ∆ABD và ∆ACD, có:

AD là cạnh chung;

BD = CD (D là trung điểm BC);

AB = AC (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) (cặp góc tương ứng).

Vậy ∆ABD = ∆ACD và AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

b) Xét ∆ADM và ∆ADN, có:

AD là cạnh chung;

AM = AN (giả thiết);

\(\widehat {MAD} = \widehat {NAD}\) (AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)).

Do đó ∆ADM = ∆ADN (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {AND} = \widehat {AMD} = 90^\circ \) (cặp góc tương ứng).

Vậy ∆ADM = ∆ADN và DN ⊥ AC.

c) Ta có KE = KD (giả thiết).

Suy ra K là trung điểm DE.

Mà K cũng là trung điểm của CN (giả thiết).

Do đó tứ giác CDNE là hình bình hành.

Vì vậy NE // CD   (1)

Ta có AM = AN (giả thiết) và AB = AC (giả thiết).

Suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Áp dụng định lí Thales đảo, ta được MN // BC   (2)

Từ (1) , (2), suy ra MN ≡ NE.

Vậy ba điểm M, E, N thẳng hàng.