Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D . a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình

Câu 18: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D .

a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH.

Trả lời

a) Gọi AD và BE lần lượt là hai đường cao của ∆ABC .

Theo đề hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H hay H là trực tâm của ∆ABC

⇒ CH là đường cao thứ 3 của ∆ABC

Do đó CH ⊥ AB    (1)

mà BD ⊥ AB (gt) ⇒ CH // BD

Có BH ⊥ AC (BE là đường cao)

CD ⊥ AC

Do đó BH // CD     (2)

Từ (1) và (2) suy ra : Tứ giác BHCD là hình bình hành

b) Có BHCD là hình bình hành nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà M là trung điểm của BC ⇒ M cũng là trung điểm của HD hay HM = DM

Có O là trung điểm của AD hay OA = OD

Xét ∆AHD có: HM = DM; OA = OD

Suy ra OM là đường trung bình của ∆AHD.

Do đó OM =  ​$\frac{1}{2}$ AH hay AH = 2OM.