Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến

Đề bài: Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau là b² +  c² = 5a².

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Gọi G  là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN.

Áp dụng công thức tính trung tuyến, ta có:

• $G{B}^2=\frac{4}{9}B{M}^2=\frac{1}{9}\left(2a^2+2c^2-b^2\right)$ ;

• $G{C}^2=\frac{4}{9}C{N}^2=\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)$ .

BM và CN vuông góc với nhau khi BG² + CG² = BC².

$\iff \frac{1}{9}\left(2a^2+2c^2-b^2\right)+\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)=a^2$

Û 4a² + b² + c² = 9a²

Û b² +  c² = 5a²