Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N

Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của $\widehat{\text{BAC}}$ cắt nhau tại K. Chứng minh rằng $\text{ΔBKM = ΔCKN}$ từ đó suy ra KC vuông góc với AN

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.

Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.

Ta lại có AM + AN = 2AB (gt), nên suy ra

2AB – BM + CN = 2AB ⇔ – BM + CN = 0  ⇔ BM = CN.

Vậy BM = CN (đpcm).

b) Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.

Do ME // NC nên ta có:

$\widehat{MEB}=\widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị) nên ∆BME cân tại M ⇒ BM = ME mà BM = CN nên ME = CN.

$\widehat{\text{CNI}}\text{ = }\widehat{\text{IME}}$ (hai góc so le trong)

$\widehat{\text{MEI}}\text{ = }\widehat{\text{NCI}}$ (hai góc so le trong)

Ta chứng minh được $\text{ΔMEI = ΔNCI\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g . c . g)}$

Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.

c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:

MI = IN (cmt),

$\widehat{\text{MIK}}\text{ = }\widehat{\text{NIK}}{\text{ = 90}}^{\text{0}}$

IK là cạnh chung. Do đó $\text{ΔMIK = ΔNIK(c.g.c)}$

Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác ABK và ACK có: AB = AC(gt), $\widehat{\text{BAK}}\text{ = }\widehat{\text{CAK}}$ (do BK là tia phân giác của $\widehat{BAC}$), AK là cạnh chung, do đó   

Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác BKM và CKN có: MB = CN, BK = KN, MK = KC, do đó

$\Delta \text{BKM = }\Delta \text{CKN(c . c . c)}$ suy ra $\widehat{\text{MBK}}\text{ =}\widehat{\text{ KCN}}$.

Mà $\widehat{\text{MBK}}\text{ = }\widehat{\text{ACK}}\Rightarrow \widehat{\text{ACK}}\text{ = }\widehat{\text{KCN}}{\text{ = 180}}^{\text{0}}{\text{ : 2 = 90}}^{\text{0}}\Rightarrow \text{KC}\perp \text{AN.}$  (đpcm)