Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Vẽ hai đường cao AE và AF của hai tam giác ABC và ACD

Bài 3 trang 63 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Vẽ hai đường cao AE và AF của hai tam giác ABC và ACD. Chứng minh góc EAF vuông.

Trả lời

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà AB = AD (vì A là trung điểm của BD).

Suy ra AC = AD = AB.

Xét ΔAEB và ΔAEC có:

$\widehat{AEB}=\widehat{AEC}\left(=90°\right)$,

Cạnh AE là cạnh chung,

AB = AC (chứng minh trên).

Do đó ΔAEB = ΔAEC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BA\text{E}}=\widehat{CA\text{E}}$ (hai góc tương ứng).

Xét ΔACF và ΔADF có:

$\widehat{AFC}=\widehat{AFD}\left(=90°\right)$,

Cạnh AF là cạnh chung,

AC = AD (chứng minh trên).

Do đó ΔAFC = ΔAFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{FAC}=\widehat{FAD}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{BA\text{E}}+\widehat{CA\text{E}}+\widehat{FAC}+\widehat{FAD}=180°$

Mà $\widehat{BA\text{E}}=\widehat{CA\text{E}}$, $\widehat{FAC}=\widehat{FAD}$(chứng minh trên).

Suy ra $2\widehat{EAC}+2\widehat{FAC}=180°$

Hay $2\left(\widehat{EAC}+\widehat{FAC}\right)=180°:2=90°$

Do đó $\widehat{EAF}=90°$.

Vậy góc EAF vuông.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Làm quen với yếu tố ngẫu