Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M, N.

a) Cho \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).

b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.

c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN.

d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?

Lời giải

a) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến HM và ME cắt nhau tại M.

Suy ra OM là tia phân giác của \(\widehat {HME}\).

Do đó \(\widehat {HMO} = \widehat {OME} = \frac{1}{2}\widehat {HME} = \beta \).

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {ONK} = \widehat {ONE} = \frac{1}{2}\widehat {ENK} = \gamma \).

Tứ giác BMNC, có: \(\widehat {CBM} + \widehat {BMN} + \widehat {MNC} + \widehat {NCB} = 360^\circ \).

\( \Leftrightarrow \alpha + 2\beta + 2\gamma + \alpha = 360^\circ \).

\( \Leftrightarrow 2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 360^\circ \).

\( \Leftrightarrow \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \) (1)

∆MON, có: \(\widehat {MON} + \beta + \gamma = 180^\circ \)   (2)

Từ (1), (2), ta được \(\widehat {MON} = \alpha \).

b) Xét ∆BOM và ∆ONM, có:

\(\widehat {MBO} = \widehat {MON} = \alpha \);

\(\widehat {BMO} = \widehat {OMN} = \beta \).

Do đó  (g.g).

Chứng minh tương tự, ta được  (g.g).

Vậy OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng là ∆BOM, ∆ONM và ∆CON.

c) Ta có O là trung điểm của BC và BC = 2a.

Suy ra \(BO = CO = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Ta có  (chứng minh trên).

Suy ra \(\frac{{BM}}{{CO}} = \frac{{BO}}{{CN}}\).

Do đó BM.CN = CO.BO = a.a = a².

Vậy BM.CN = a².

d) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được \(BM + CN \ge 2\sqrt {BM.CN} = 2\sqrt {{a^2}} = 2a\).

Ta thấy a là một số không đổi.

Dấu “=” xảy ra ⇔ BM = CN = a.

Vì vậy tổng BM + CN nhỏ nhất khi và chỉ khi BM = CN = a.

Ta có tỉ số \(\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{AC}}\).

Áp dụng định lí Thales đảo, ta được: MN // BC.

Vậy khi tiếp tuyến MN của (O) song song với đường thẳng BC thì tổng BM + CN nhỏ nhất.