Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Lời giải

a) Vì BK là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AKB} = 90^\circ \)

Suy ra tam giác AKI vuông tại K

Do đó K thuộc đường tròn đường kính AI

b) Gọi O là trung điểm của AI

Vì OA = OK nên tam giác OAK cân tại O

Suy ra \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)

Vì tam giác BCK vuông ở K nên \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì tam giác ACH vuông ở H nên \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {HAC}\)

Mà \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)                           (1)

Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao

Nên AH là đường trung tuyến

Hay H là trung điểm của BC

Xét tam giác BCK vuông ở K có KH là trung tuyến

Suy ra BH = HK

Do đó tam giác BHK cân tại H

Suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {BKH}\)                            (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AKO} = \widehat {BKH}\)

Mà \(\widehat {AKO} + \widehat {OKB} = \widehat {AKB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BKO} + \widehat {BKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {HOK} = 90^\circ \)

Xét (O) có OH ⊥ HK

Suy ra HK là tiếp tuyến của (O)

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.