Lời giải
a) Ta có D là điểm đối xứng của M qua N (giả thiết).
Suy ra N là trung điểm MD.
Mà N cũng là trung điểm AC (giả thiết).
Do đó tứ giác ADCM là hình bình hành (1)
∆ABC có AM là đường cao (giả thiết).
Suy ra AM ⊥ BC tại M.
Khi đó \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) (2)
Từ (1), (2), ta được tứ giác ADCM là hình chữ nhật.
b) Ta có ADCM là hình chữ nhật.
Suy ra AD // MC và AD = MC (3)
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
\(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \);
AM là cạnh chung;
AB = AC (do ∆ABC cân tại A)
Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BM = CM (cặp cạnh tương ứng) (4)
Từ (3), (4), suy ra AD = BM và AD // BM.
Do đó tứ giác ABMD là hình bình hành
Khi đó hai đường chéo AM và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Vậy BD đi qua trung điểm O của AM.
c) ∆AMD có O, N lần lượt là trung điểm của AM, MD.
Suy ra ∆AMD có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại I.
Do đó I là trọng tâm của ∆AMD.
Vì vậy \(DI = \frac{2}{3}DO\).
Mà OD = OB (do ABMD là hình bình hành nên trung điểm O của AM cũng là trung điểm của BD).
Vậy \(DI = \frac{2}{3}OB\).
d) Xét ∆ANO và ∆MNO, có:
AN = MN (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);
NO là cạnh chung;
AO = OM (O là trung điểm AM).
Do đó ∆ANO = ∆MNO (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {AON} = \widehat {MON}\) (cặp góc tương ứng).
Mà \[\widehat {AON} + \widehat {MON} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).
Do đó \(\widehat {AON} = \widehat {MON} = 90^\circ \).
Mà \(\widehat {OME} = \widehat {MEN} = 90^\circ \).
Vì vậy tứ giác ONEM là hình chữ nhật.
Ta có E là hình chiếu của N lên BC.
Suy ra NE ⊥ MC.
Xét ∆MNE và ∆CNE, có:
NE là cạnh chung;
MN = NC (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);
\(\widehat {NEM} = \widehat {NEC} = 90^\circ \).
Do đó ∆MNE = ∆CNE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra ME = CE (cặp cạnh tương ứng).
Vì vậy E là trung điểm MC.
Do đó \(ME = \frac{1}{2}MC\).
Để tứ giác ONEM là hình vuông thì cần thêm điều kiện OM = ME.
Suy ra \(\frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}MC\).
Do đó AM = MC = BM.
Vì vậy ∆ABC vuông cân tại A (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Vậy tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) để tứ giác ONEM là hình vuông.
