Cho tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CK (D, E, K tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB) gọi là các đường n – tuyến của DABC nếu như: \[\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{{AK}}{{AB}} = \frac{1}{n}\](n là số dương cho trước). Đặt AD = d_a, BE = d_b, CK = d_c (và gọi d_a, d_b, d_c là độ dài của các đường n - tuyến). Chứng minh rằng:

d_a² + d_b² + d_c² = \[\frac{{{n^2} - n + 1}}{n}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\].

Theo định lý Steward ta có:

a.AD² = BD.b² - DC.c² - a.BD.DC     (1)

Do \[BD = \frac{a}{n},DC = \frac{{\left( {n - 1} \right)a}}{n}\], vậy từ (1) có:

a.AD² = \[\frac{{a{b^2}}}{n} + \frac{{\left( {n - 1} \right)a{c^2}}}{n} - a.\frac{{a\left( {n - 1} \right)a}}{{{n^2}}}\]

\[ \Rightarrow {d_a}^2 = \frac{{{b^2} + \left( {n - 1} \right)a{c^2}}}{n} - \frac{{\left( {n - 1} \right){a^2}}}{{{n^2}}}\]

\[ \Rightarrow {d_a}^2 = \frac{{n{b^2} + n\left( {n - 1} \right){c^2} - \left( {n - 1} \right){a^2}}}{{{n^2}}}\] (2)

Lý luận tương tự, ta có: \[{d_b}^2 = \frac{{n{c^2} + n\left( {n - 1} \right){a^2} - \left( {n - 1} \right){b^2}}}{{{n^2}}}\] (3)

\[{d_c}^2 = \frac{{n{a^2} + n\left( {n - 1} \right){b^2} - \left( {n - 1} \right){c^2}}}{{{n^2}}}\]          (4)

Cộng từng vế (2), (3), (4) suy ra:

\[{d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2 = \frac{{{n^2} - n + 1}}{{{n^2}}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\](đpcm)

Vậy \[{d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2 = \frac{{{n^2} - n + 1}}{{{n^2}}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\].