Cho tam giác AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK.
Gọi đường trung trực của BC cắt BC tại M.
Xét ΔBMI và ΔCMI, ta có:
\[\widehat {BMI} = \widehat {CMI}\] (bằng 90 độ)
BM = CM (vì M là trung điểm của BC )
MI cạnh chung
Suy ra: ΔBMI = ΔCMI (c.g.c)
Suy ra: IB = IC (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ΔIHA và ΔIKA, ta có:
\[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\](vì AI là tia phân giác của góc BAC).
\(\widehat {IHA} = \widehat {IKA}\)(bằng 90 độ)
AI cạnh huyền chung
Suy ra: ΔIHA = ΔIKA (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ΔIHB và ΔIKC, ta có:
IB = IC ( chứng minh trên )
\(\widehat {IHB} = \widehat {IKC}\)(bằng 90 độ)
IH = IK (chứng minh trên)
Suy ra: ΔIHB = ΔIKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng).