Cho \(S = 1 + {3^1} + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{30}}\).

Tìm chữ số tận cùng của S. S có phải là số chính phương không?

Ta có: \(S = 1 + {3^1} + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{30}}\)

\[3S = {3^1} + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{31}}\]

\[ \Rightarrow 2S = {3^{31}} - 1\]

\[ \Rightarrow S = \frac{{{3^{31}} - 1}}{2}\]

\({3^{31}} - 1 = {\left( {{3^4}} \right)^7}\,.\,{3^3} - 1 = {\overline {...1} ^4}\;.\;\overline {...7} - 1\)

\( = \overline {...1} \;.\;\overline {...7} - 1 = \overline {...7} - 1 = \overline {...6} \)

Suy ra S có tận cùng là 3 hoặc 8

Mà số chính phương không có tận cùng là 3 hoặc 8 nên S không là số chính phương.