Cho Q = x + 16/ căn bậc hai của x  + 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

Trả lời

Lời giải

ĐK: x ≥ 0.

Ta có \(Q = \frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - {3^2} + 25}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 25}}{{\sqrt x + 3}}\)

\[ = \sqrt x - 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} = \sqrt x + 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} - 6\].

Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương, ta có:

\[Q = \sqrt x + 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} - 6 \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 3} \right).\frac{{25}}{{\sqrt x + 3}}} - 6\].

Do đó Q ≥ 2.5 − 6 = 4.

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x + 3 = \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) = 25\).

Vì \(\sqrt x + 3 > 0\) nên \(\sqrt x + 3 = 5 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\).