Cho phương trình x2 – (m + 2)x – 8 = 0 (m là tham số

Đề bài: Cho phương trình x² – (m + 2)x – 8 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 0.

b) Tính giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn

x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁) = 8.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Thay m = 0 vào phương trình ta có:

x² – (0 + 2)x – 8 = 0

x² – 2x – 8 = 0

$\Delta \text{'}=1-1.(-8)=9$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x_1=1-\sqrt{9}=-2$ ; $x_2=1+\sqrt{9}=4$ .

b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì: $\Delta >0$

$\iff {(m+2)}^2-4.(-8)>0$

$\iff {(m+2)}^2+32>0$ (luôn đúng với $\forall x\in ℝ$ )

Áp dụng hệ thức Vi−ét ta có:

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+2\\ x_1{x}_2=-8\end{array}\right.$ (*)

Lại có: x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁) = 8

 x₁ – x₁x₂ + x₂ – x₁x₂ = 8

 (x₁ + x₂) – 2x₁x₂ = 8

Thay (*) vào ta có: m + 2 – 2 . (−8) = 8

⇔ m + 2 + 16 = 8

⇔ m + 18 = 8

m = −10

Vậy với m = −10 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.