Cho phương trình x^2 – (m – 1)x – m = 0, trong đó m là tham số, x là ẩn số

Đề bài: Cho phương trình x² – (m – 1)x – m = 0, trong đó m là tham số, x là ẩn số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 1.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình x² – (m – 1)x – m = 0

Có D = [–(m – 1)]² – 4.1.(–m) = m² – 2m + 1 + 4m = m² + 2m + 1 = (m + 1)².

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D > 0

Û (m + 1)² > 0

Û m + 1 ≠ 0

Û m ≠ –1     (1)

Theo định lí Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-1\\ x_1{x}_2=-m\end{array}\right.$

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 1 thì $\left\{\begin{array}{l}{x}_1<1\\ x_2<1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-1<0\\ x_2-1<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-2<0\\ \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m-1-2<0\\ x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ -m-\left(m-1\right)+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ -2m>-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ m<1\end{array}\right.\iff m<1$   (2)

Từ (1) và (2) ta có: m < 1; m ≠ –1.

Vậy m < 1 và m ≠ –1.