Cho phương trình x2 − 4x − m2 − 1 = 0

Đề bài: Cho phương trình x² − 4x − m² − 1 = 0.

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tính giá trị của A = x₁² + x₂² biết 2x₁ + 3x₂ = 13.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) x² − 4x − m² − 1 = 0

Ta có ∆' = 4 + m² + 1 = 5 + m²

Vì m² ≥ 0 Þ m² + 5 > 0; ∀m

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm x₁, x₂.

b) Theo Viét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1.x_2=-m^2-1\left(*\right)\end{array}\right.$

Ta có: 2x₁ + 3x₂ = 13

Û 2x₁ + 3(4 − x₁) = 13

Û 2x₁ + 12 − 3x₁ = 13

Û −x₁ − 1 = 0

Û x₁ = −1

Þ x₂ = 4 − (−1) = 5.

Khi đó A = x₁² + x₂² = (−1)² + 5² = 26.