Cho phương trình: x^2 – 4x + m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

Câu 8: Cho phương trình: x² – 4x + m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁³ + x₂³ – 5(x₁² + x₂²) = 26.

Trả lời

Xét x2 – 4x + m = 0

Ta có Δ = (−4)2 − 4.1.m = 16 − 4m

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 16 − 4m > 0 ⇔ −4m > −16 ⇔ m < 4

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=4\\ x_1.x_2=m\end{array}$

Ta có: x13 + x23 − 5(x12 + x22) = 26

⇔(x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2) − 5[(x1 + x2)2 − 2x1x2] = 26

⇔ 43 − 3.m.4 – 5(42 − 2m) = 26

⇔ 64 − 12m – 80 + 10m = 26

⇔ −2m = −18

⇔ m = 9 (không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

x13 + x23 – 5(x12 + x22) = 26.