Cho phương trình x² − (2m + 5)x + 2m + 1 = 0 với m là tham số có hai nghiệm dương phân biệt x₁, x₂. Tìm m thỏa mãn $\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|$ có giá trị nhỏ nhất.

Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(2m+5\right)}^2-4\left(2m+1\right)>0\\ x_1+x_2=2m+5>0\\ x_1{x}_2=2m+1>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4m^2+12m+21>0\\ m>-\frac{5}{2}\\ m>-\frac{1}{2}\end{array}\right.\Rightarrow m>-\frac{1}{2}$.

Đặt $A=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|>0$

$\iff A^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1{x}_2}$

$\iff A^2=2m+5-2\sqrt{2m+1}$

$\iff A^2=2m+1-2\sqrt{2m+1}+1+3$

$\iff A^2={\left(\sqrt{2m+1}-1\right)}^2+3\ge 3$

$\Rightarrow A\ge \sqrt{3}\Rightarrow A_{\min }=\sqrt{3}$ khi $\sqrt{2m+1}=1\Rightarrow m=0$ .

Vậy GTNN của $\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|$  bằng $\sqrt{3}$  khi m = 0.