Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm x₁; x₂ mọi m.

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn:

x₁(1 + x₂) + x₂(1 + x₁) = 7.

x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1).

a) Thay m = 2 vào (1) ta được:

x² – 6x + 8 = 0

\(\Delta '\) = 3² – 8 = 1 > 0

Vậy với m = 2 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = 3 + 1 = 4; x₂ = 3 – 1 = 2.

b) Phương trình (1) có:

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 1.4m\)

= m² + 2m + 1 – 4m = m² – 2m + 1 = (m – 1)² ≥ 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm.

c) Theo b) ta có phương trình (1) luôn có nghiệm.

Áp dụng hệ thức Vi−ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)(2)\\{x_1}{x_2} = 4m(3)\end{array} \right.\)

Theo để bài ta có:

x₁(1 + x₂) + x₂(1 + x₁) = 7

\( \Leftrightarrow \)x₁ + x₁x₂ + x₂ + x₁x₂ = 7

\( \Leftrightarrow \)(x₁ + x₂) + 2x₁x₂ = 7 (4)

Thay (2) và (3) vào (4) ta được:

2(m + 1) + 2.4m = 7

\( \Leftrightarrow \)2m + 2 + 8m = 7

\( \Leftrightarrow \) 10m = 5

\( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Vậy với \(m = \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.