Cho phương trình: x^2 − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0

Đề bài: Cho phương trình: x² − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biết với mọi m.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 2 < x₂.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy: ${\Delta }^{\text{'}}={\left(m-1\right)}^2-\left(2m-5\right)=m^2-4m+6$

$={\left(m-2\right)}^2+2\ge 2>\mathrm{0,}\forall m\in ℝ$

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m thực

b) Áp dụng định lý Vi-ét với x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình thì:

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=2m-5\end{array}\right.$

Khi đó, để x₁ < 2 < x₂ Û (x₁ − 2)(x₂ − 2) < 0

Û x₁x₂ − 2(x₁ + x₂) + 4 < 0

Û 2m − 5 − 4(m − 1) + 4 < 0

Û − 2m + 3 < 0 

$\iff m>\frac{3}{2}$

Vậy $m>\frac{3}{2}$  là giá trị của m thỏa mãn.