Cho phương trình (m + 1)x^2 + 2mx + m – 1 = 0

Đề bài: Cho phương trình (m + 1)x² + 2mx + m – 1 = 0 (*).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ sao cho x₁² + x₂² = 5.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\\ a\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-(m+1)(m-1)>0\\ m\ne -1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-m^2+1>0\\ m\ne -1\end{array}\right.\iff m\ne -1$.

Áp dụng định lý Vi−ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-2m}{m+1}\\ x_1.x_2=\frac{m-1}{m+1}\end{array}\right.$

Khi đó, ta có: x₁² + x₂² = 5 ⇔ (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 5

$\iff {\left(\frac{-2m}{m+1}\right)}^2-2\frac{m-1}{m+1}=5$

⇔ 4m² – 2(m – 1)(m + 1) = 5(m + 1)²

⇔ 4m² – 2m² + 2 = 5m² + 10m + 5

⇔ 3m² + 10m + 3 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}m=-3\\ m=\frac{-1}{3}\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn điều kiện m = −3; $m=\frac{-1}{3}$.