Cho phương trình: (m + 1)x^2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0

Đề bài: Cho phương trình: (m + 1)x² – 2(m – 1)x + m – 2 = 0. Xác định m để phương trình có nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{7}{4}$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình: (m + 1)x² – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 (1).

Để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thì $\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ {\Delta }^{\text{'}}\ge 0\end{array}\right.$  (*)

Ta có △’ = b’² – ac

               = [–(m – 1)]² – (m + 1)(m – 2)

               = m² – 2m + 1 – m² + m + 2

               = 3 – m

Do đó $\left(*\right)\iff \left\{\begin{array}{l}m+1\ne 0\\ 3-m\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne -1\\ m\le 3\end{array}\right.$

Theo hệ thức Vi – ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m+1}\\ x_1.x_2=\frac{m-2}{m+1}\end{array}\right.$

Theo bài, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{7}{4}$

 $$\begin{gathered} \iff \frac{x_2+x_1}{x_1.x_2}=\frac{7}{4} \\ \iff \frac{2\left(m-1\right)}{m+1}:\frac{m-2}{m+1}=\frac{7}{4} \\ \iff \frac{2\left(m-1\right)}{m+1}.\frac{m+1}{m-2}=\frac{7}{4} \\ \iff \frac{2\left(m-1\right)}{m-2}=\frac{7}{4} \end{gathered}$$

⇔ 8(m – 1) = 7(m – 2)

⇔ 8m – 8 = 7m – 14

⇔ m = – 6 (thỏa mãn)

Vậy m = – 6 thì phương trình có nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{7}{4}$ .