Cho phương trình:

$\sqrt{x^2+x+10-2\sqrt{x^2+x+7}}=\sqrt{x^2+x+15-6\sqrt{x^2+x+7}}$.

Tập nghiệm của phương trình trên là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sqrt{x^2+x+10-2\sqrt{x^2+x+7}}=\sqrt{x^2+x+15-6\sqrt{x^2+x+7}}$

$\iff \sqrt{x^2+x+7-2\sqrt{x^2+x+7}+3}=\sqrt{x^2+x+7-6\sqrt{x^2+x+7}+8}$  (1)

Đặt $t=\sqrt{x^2+x+7}$, t ≥ 0.

Phương trình (1) tương đương với: $\sqrt{t^2-2t+3}=\sqrt{t^2-6t+8}$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

t² – 2t + 3 = t² – 6t + 8

⇒ 4t = 5

⇒ $t=\frac{5}{4}$ (nhận)

Với $t=\frac{5}{4}$, ta có $\sqrt{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-2.\frac{5}{4}+3}=\sqrt{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-6.\frac{5}{4}+8}$ (đúng)

Vì vậy khi thay $t=\frac{5}{4}$ vào phương trình $\sqrt{t^2-2t+3}=\sqrt{t^2-6t+8}$, ta thấy $t=\frac{5}{4}$ thỏa mãn.

Với $t=\frac{5}{4}$, ta có $\sqrt{x^2+x+7}=\frac{5}{4}$.

Bình phương hai vế phương trình trên, ta được $x^2+x+7=\frac{25}{16}$.

⇒ $x^2+x+\frac{87}{16}=0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Khi đó tập nghiệm của phương trình ban đầu là: ∅.

Ta chọn phương án D.