Cho phương trình $\frac{\sqrt{x^2-3x-4}}{x+1}=-2$. Biết phương trình đã cho có một nghiệm có dạng $\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và b > 0. Khi đó giá trị biểu thức a² – b² bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{\sqrt{x^2-3x-4}}{x+1}=-2$.

$\Rightarrow \sqrt{x^2-3x-4}=-2\left(x+1\right)$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x² – 3x – 4 = 4(x + 1)²

⇒ x² – 3x – 4 = 4(x² + 2x + 1)

⇒ 3x² + 11x + 8 = 0

⇒ x = –1 hoặc $x=-\frac{8}{3}$.

Với x = –1, ta có $\frac{\sqrt{{\left(-1\right)}^2-3.\left(-1\right)-4}}{-1+1}=-2$ (vô lý)

Với $x=-\frac{8}{3}$, ta có $\frac{\sqrt{{\left(-\frac{8}{3}\right)}^2-3.\left(-\frac{8}{3}\right)-4}}{-\frac{8}{3}+1}=-2$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = –1 và $x=-\frac{8}{3}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x=-\frac{8}{3}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{8}{3}$.

Khi đó a = –8 và b = 3 (do b > 0).

Suy ra a² – b² = (–8)² – 3² = 55.

Vậy ta chọn phương án A.