Cho phương trình (1 + m)x² – 2mx + 2m = 0. Tìm m để phương trình:

a) Có nghiệm;

b) Vô nghiệm;

c) Có 2 nghiệm;

d) Có 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải

a) Xét phương trình (1 + m)x2 – 2mx + 2m = 0 (*)

Trường hợp 1: m + 1 = 0 Û m = –1.

Khi đó phương trình (*) trở thành: 2x – 2 = 0 Û x = 1.

Do đó khi m = –1 thì phương trình (*) có nghiệm.

Trường hợp 2: m + 1 ≠ 0 Û m ≠ –1.

Khi đó phương trình (*) là phương trình bậc hai một ẩn.

Có: △’ = (–m)² – 2m(1 + m)

            = m² – 2m – 2m²

            = – m² – 2m

Để phương trình có nghiệm thì Δ' ≥ 0

⟺ – m² – 2m ≥ 0

⟺ m² + 2m ≤ 0

⟺ m(m + 2) ≤ 0

⟺ – 2 ≤ m ≤ 0

Kết hợp 2 trường hợp ta có: – 2 ≤ m ≤ 0.

Vậy – 2 ≤ m ≤ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm.

b) Để phương trình vô nghiệm thì Δ' < 0

⟺ – m² – 2m < 0

⟺ m² + 2m > 0

⟺ m(m + 2) > 0

⟺ \(\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 2\end{array} \right.\)

c) Để phương trình có hai nghiệm thì Δ' ≥ 0

⟺ – m² – 2m ≥ 0

⟺ m² + 2m ≤ 0

⟺ m(m + 2) ≤ 0

⟺ – 2 ≤ m ≤ 0

Kết hợp điều kiện m ≠ – 1 ta có – 2 ≤ m ≤ 0 và m ≠ – 1.

d) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ' > 0

⟺ – m² – 2m > 0

⟺ m² + 2m < 0

⟺ m(m + 2) < 0

⟺ – 2 < m < 0

Kết hợp điều kiện m ≠ – 1 ta có – 2 < m < 0 và m ≠ – 1.