Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố ( p > 5 ). Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số?

Xét 3 số tự nhiên tiếp : 4p, 4p + 1, 4p + 2 .

Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 nên trong 3 số này có một số chia hết cho 3 (1)

Ta xét : 

+ Vì p là số nguyên tố ( p > 5 ) nên p không chia hết cho 3 .

Do vậy 4p không chia hết cho 3 (2)

+ Vì 2p + 1 là số nguyên tố và p > 5 nên 2p + 1 > 3.

Suy ra 2p + 1 không chia hết cho 3 .

Mà 4p + 2 = 2(2p + 1) ⇒ 4p + 2 không chia hết cho 3 (3)              

Từ (1) , (2) , (3) ta suy ra được 4p + 1 chia hết cho 3 .

Mà p > 5 ⇒ 4p + 1 > 3 không thể là số nguyên tố .

Hay nói cách khác 4p + 1 là hợp số.