Cho (O; R). Từ điểm A nằm ngoài (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm). Vẽ dây NC của (O; R) vuông góc với MB tại H. Gọi I là giao điểm của AB và NH. Tính tỉ số \(\frac{{NI}}{{NC}}\).
Ta có:
MA ⊥ MB (tiếp tuyến vuông góc với đường kính)
NC ⊥ OB suy ra: IH ⊥ MB
Do đó: IH // MA
Áp dụng định lí Thalès trong tam giác MAB có:
\(\frac{{HB}}{{MB}} = \frac{{IB}}{{BA}} = \frac{{IH}}{{MA}}\,\,hay\,\,\frac{{HI}}{{MA}} = \frac{{HB}}{{MB}} = \frac{{HB}}{{2MO}}\,\)(1)
Ta có: AMON là tứ giác nội tiếp đường tròn vì \[\widehat {ANO} + \widehat {AMO}\] = 180° suy ra: \[\widehat {MNO} = \widehat {MAO}\]
Mà \[\widehat {ONB}\, + \widehat {MON}\, = \widehat {MAO\,} + \,\widehat {MOA}\,\]= 90°
Suy ra: \[\widehat {ONB}\,\, = \,\,\widehat {MOA}\,\]
Mặt khác tam giác ONB cân tại O nên \[\widehat {ONB}\,\, = \,\,\widehat {HBN}\,\]
Xét tam giác HBN và tam giác MOA có:
\(\widehat {NHB} = \widehat {AMO}\)= 90°
\(\widehat {HBN} = \widehat {ONB} = \widehat {MOA}\)
Suy ra: ∆HBN ᔕ ∆MOA (g.g)
Hay \(\frac{{HN}}{{MA}} = \frac{{HB}}{{MO}} = \frac{{2HB}}{{MB}}\,\,\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{HN}}{{MA}} = \frac{{2HI}}{{MA}}\,\,\)hay HN = 2HI = 2NI
Mà NC = 2HN
Suy ra: NC = 4NI
Vậy \[\frac{{NI}}{{NC}} = \frac{1}{4}\].