Lời giải
Vì CA ⊥ AB, BD ⊥ AB nên CA // BD
Suy ra ACDB là hình thang
Lại có \(\widehat {CAB} = 90^\circ \) nên ACDB là hình thang vuông
Đường tròn tâm I đường kín CD nên I là trung điểm của CD
Xét hình thang vuông ACDB có I là trung điểm của CD, O là trung điểm của AB
Suy ra IO là đường trung bình của hình thang
Do đó IO // CA
Mà CA ⊥ AB suy ra IO ⊥ AB (1)
Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C
Suy ra OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)
Do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)
Suy ra OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)
Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)
Ta có \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)
Suy ra tam giác COD vuông tại O
Mà OI là đường trung tuyến
Do đó OI = \(\frac{1}{2}\) CD
Suy ra O thuộc (I) đường kính CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (I).