Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB.Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên đường tròn (M khác A; B), vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn ,cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng: \(\widehat {COD}\)= 90°.
b) Chứng minh AC . BD không đổi.
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)
OD và tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)
OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù \(\widehat {AOM}\)và \(\widehat {BOM}\) nên OC ⊥ OD
Suy ra: \(\widehat {COD}\)= 90°
b) Ta có: AC = CM, BD = DM (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Nên AC.BD = CM.MD (1)
ΔCOD vuông tại O, ta có:
CM.MD = OM2 = R2 (R là bán kính đường tròn O). (2)
Từ (1) và (2) ta có: AC.BD = CM.MD = R2
Vậy AC.BD = R2 (không đổi).