Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C
31
22/05/2024
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:
a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường tròn.
b) CK.CD = CA.CB.
Trả lời
Lời giải
a) Theo bài ra ta có: AB là đường kính của đường tròn tâm O.
Suy ra AM ⊥ MB nên \(\widehat {DMA} = \widehat {DCA} = 90^\circ \).
Suy ra tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn.
Ta lại có: \(\widehat {BCK} = \widehat {BMK} = 90^\circ \).
Suy ra tứ giác BCKM nội tiếp đường tròn.
b) Xét ∆CKA và ∆CBD có:
\(\widehat {BCK} = \widehat {BMK} = 90^\circ \)
\(\widehat {KAC} = \widehat {MAC} = \widehat {MDC} = \widehat {BDC}\)
Do đó ∆CKA ᔕ ∆CBD (g.g).
Suy ra \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{KC}}{{BC}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Do đó AD. BC = KC. DC (đpcm).
