Lời giải:
a) ∆AQB nội tiếp đường tròn (O)
\( \Rightarrow \widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
⇒ AQ ⊥ QB hay AQ ⊥ BM.
∆ABM vuông tại A (do Ax là tiếp tuyến của (O) nên Ax ⊥ AB) có AQ ⊥ BM, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra: MA2 = MQ . MB (đpcm).
b) ∆ACB nội tiếp đường tròn (O)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
⇒ AC ⊥ CB. (1)
Ta có: OA = OC (Bán kính của đường tròn tâm O)
Và MA = MC (Hai tiếp tuyến MA, MC cắt nhau tại M)
Suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
⇒ MO ⊥ AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC // OM (cùng vuông góc với AC).
\( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {MBC}\) (so le trong).
Hay \(\widehat {IMQ} = \widehat {MBC}\). (3)
Mặt khác: \(\widehat {QAI} = \widehat {MBC}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung QC). (4)
Từ (3) và (4), suy ra \(\widehat {IMQ} = \widehat {QAI}\).
Do M và A cùng nhìn QI cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác AIQM nội tiếp.
c) Do tứ giác AIQM nội tiếp nên suy ra:
\(\widehat {AMI} = \widehat {AQI}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung AI) (5)
Ta có: \(\widehat {IQN} = \widehat {AQB} - \widehat {AQI} = 90^\circ - \widehat {AQI}\) (6).
Xét tam giác AIM vuông tại I có \(\widehat {AMI} + \widehat {MAI} = 90^\circ \).
Và \(\widehat {MAI} + \widehat {IAO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {AMI} = \widehat {IAO}\) (Hai góc cùng phụ với \(\widehat {MAI}\)) (7)
Xét tam giác CAH vuông tại H có:
\(\widehat {CAH} + \widehat {ACH} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ACH} = 90^\circ - \widehat {CAH}\)
Hay \(\widehat {ICN} = 90^\circ - \widehat {IAO}\) (8).
Từ (5), (6), (7) và (8), suy ra \(\widehat {IQN} = \widehat {ICN}\).
Do Q và C cùng nhìn IN cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác IQCN nội tiếp.
\( \Rightarrow \widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung CN) (*)
Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CQB}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung CB) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CAH}\).
Suy ra IN // AH (Có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)
Mà AH ⊥ CH nên suy ra IN ⊥ CH.