Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh: CD = AC + BD.

b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. Chứng minh: AF.AB = KE.EB.

c) EF cắt CB tại I. Chứng minh , suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.

d) EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N. Chứng minh: M, I, N thẳng hàng.

Lời giải:

a) Do AC, EC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C nên AC = EC.

          BD, ED là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại D nên BD = BE

Do đó AC + BD = EC + BE = CD.

Vậy CD = AC ++ BD.

b) Do E thuộc đường tròn (O) đường kính AB nên \(\widehat {AEB} = 90^\circ \)

DABK vuông tại A, có đường cao AE nên theo hệ thức lượng ta có: AE² = KE.EB.

DAEB vuông tại E, có đường cao EF nên theo hệ thức lượng ta có: AE² = AF.AB.

Do đó AF.AB = KE.EB.

c) Xét DABC có AC // IF nên theo định lí Talet ta có:\(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{AF}}{{FB}}\).

Xét DBCD có IE // BD nên theo định lí Talet ta có:\(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CE}}{{ED}}\).

Lại có CE = AC và ED = BD nên \(\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{AF}}{{FB}}\) hay \(\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AF}}{{FB}}\)

Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta BFD\) có:

\(\widehat {CAF} = \widehat {DBF} = 90^\circ \) và \(\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AF}}{{BF}}\)

Do đó

\( \Rightarrow \widehat {AFC} = \widehat {BFD}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AFC} + \widehat {CFE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BFD} + \widehat {DFE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CFE} = \widehat {DFE}\) hay FE là phân giác của \(\widehat {CFD}\).

d) Ta có: AC = EC và OA = OE nên OC là đường trung trực của AE.

Lại có AE ⊥ KB nên OC // KB.

Mà O là trung điểm của AB nên C là trung điểm của AK.

Do EF // AK nên \(\frac{{EI}}{{KC}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{IF}}{{CA}}\) (hệ quả định lí Talet)

Mà KC = CA nên EI = IF.

• Tia IM cắt AC tại Q, tia IB cắt BD tại Q.

CP // IF nên \(\frac{{CP}}{{IF}} = \frac{{MP}}{{MI}}\) (hệ quả định lí Talet)

PA // IE nên \(\frac{{PA}}{{IE}} = \frac{{MP}}{{MI}}\) (hệ quả định lí Talet)

Suy ra \(\frac{{CP}}{{IF}} = \frac{{PA}}{{IE}}\left( { = \frac{{MP}}{{MI}}} \right)\), mà EI = IF nên CP = PA hay P là trung điểm của AC.

Tương tự ta cũng chứng minh được Q là trung điểm của BD.

Ta có: IE // BD nên \(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CA}}{{BD}} = \frac{{2CP}}{{2QB}} = \frac{{CP}}{{QB}}\) và \(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\) (so le trong).

Xét DPCI và DQBI có:

\(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\) và \(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CP}}{{QB}}\)

Suy ra

Do đó \(\widehat {PIC} = \widehat {QIB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {PIC} + \widehat {PIB} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {QIB} + \widehat {PIB} = 180^\circ \)

Suy ra P, I, Q thẳng hàng hay M, I, N thẳng hàng.